Primitive d’une fonction continue pdf


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Primitive d’une fonction continue pdf

Primitive d’une fonction continue pdf Définition et propriétés 

En mathématiques, une primitive d’une fonction f d’une variable réelle définie sur un intervalle I est une fonction F, définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f, autrement dit telle que pour tout réel x de l’intervalle I, F’(x) = f(x) ; une notation rigoureuse (voir calcul des prédicats) est donc :

{\displaystyle \forall x\in I\quad F'(x)=f(x).}
Une condition suffisante pour qu’une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu’elle y soit continue.Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I alors, pour tout réel k, une primitive de k.f sur I est k.F.

Exemples :

  • Une primitive de la fonction {\displaystyle f:x\mapsto 2x} est {\displaystyle F:x\mapsto x^{2}}
  • Une primitive de la fonction {\displaystyle g:x\mapsto 4x^{3}} est {\displaystyle G:x\mapsto x^{4}}
  • Une primitive de la fonction {\displaystyle f+g:x\mapsto 2x+4x^{3}} est {\displaystyle F+G:x\mapsto x^{2}+x^{4}}
  • Une primitive de la fonction {\displaystyle f:x\mapsto x^{a}} est {\displaystyle F:x\mapsto {\tfrac {x^{a+1}}{a+1}}} pour a réel différent de −1.
  • Une primitive sur ]0, +∞[ de la fonction inverse {\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x}}} est la fonction logarithme népérien {\displaystyle x\mapsto \ln(x)}.

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